狭义数的分类
前言
数 这个概念大家一定不陌生，但是真要说出数是如何定义的，或许便有些发难。没关系，我们一步一个脚印，从 \(0\)1 开始。
什么是整数
整数的直观定义
直觉上，\(\cdots , -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\) 这些数就叫做整数。
若要细分，那么
- \(1, 2, \cdots\) 这些数叫做 正整数
- \(\cdots, -2, -1\) 这些数叫做 负整数
- \(0\) 和正整数统称为 非负整数，也叫做 自然数
- \(0\) 和负整数统称为 非正整数
- 负整数、\(0\)、正整数统称为 整数
不难发现，这种定义方法的确很直观，但是很不严谨啊，和数学严谨的气质非常不符，所以接下来介绍的就是整数的严谨定义
整数的严谨定义2
皮亚诺公理
在介绍整数的严谨定义之前，我们需要引入一个公理：皮亚诺公理，它研究的是自然数理论的公理，说人话就是如何定义自然数
首先，我们要认识到一点，自然数可以被视作一个满足某种要求的 序列，也可以视作某种 集合
那么，自然数序列究竟满足什么要求呢？
很直观地来说，你会发现自然数序列是一个首项为 \(0\)，公差为 \(1\) 的等差数列，然后好像就定义完了？
不不不，这个时候连加法的基本定义都不存在，所以说我们的定义不能基于 加法 的概念
那有什么办法解决 \(+1\) 这种运算呢？有的！我们可以定义一种运算，叫做 后继，记作 \(x'\)
也就是说，我们可以这样定义自然数集：
-
\(0\) 属于自然数集
-
每个自然数都有唯一的后继，且该后继也是自然数
目前看来这个定义貌似很完美，但其实缺漏很多，这里列举 \(3\) 个 \(\textit{bug}\)：
- 可以定义 \(-1\) 的后继是 \(0\)， 那么 \(-1\) 也是自然数
- 可以定义 \(0, 1\) 的后继都是 \(2\)，那么自然数就不能视作序列了
- 可以在自然数集里混入一车奇怪的数字，比如 \(0.5, 1.5, 2.5, \cdots\)
第 \(1\) 个 \(\textit{bug}\) 很好解决，我们可以让 \(0\) 不是任何自然数的后继
第 \(2\) 个 \(\textit{bug}\) 也很好解决，我们可以让任意两个数的后继不相同
第 \(3\) 个 \(\textit{bug}\) 就有些小麻烦，需要找到一个性质：所有满足以上要求的集合都包含自然数集（这条性质也被称作 归纳公理）
于是乎，我们可以得出一份完美的自然数集定义：
- 零是个自然数
- 每个自然数都有一个后继（也是个自然数）
- 零不是任何数的后继
- 不同的自然数有不同的后继
- 设由自然数组成的某个集含有零，且每当该集合含有某个自然数时便也同时含有这个数的后继，那么该集必含有全部自然数
形式化地，我们定义一种结构，叫做 戴德金——皮亚诺结构，它用一个三元组 \((A, x_0, f)\) 表示，其中 \(A\) 是一个集合，\(x_0\) 是零元素，\(f\) 是对应法则（映射），它满足：
- \(x_0 \in A,\) 且 \(f: A \rightarrow A\)
- \(\nexists x \in A, f(x) = 0\)
- \(\forall s, t\in A, f(s) = f(t) \Leftrightarrow s = t\)
- 若 \(B \subseteq A, x_0 \in B,\) 且 \(\forall x \in B, f(x) \in B,\) 则认为 \(A=B\)
不难发现，将自然数集对应到戴德金——皮亚诺结构上，集合 \(A\) 对应自然数集 \(\mathbb{N}\)，零元素 \(x_0\) 对应数字 \(0\)，对应法则 \(f\) 对应后继
在严谨定义了自然数后，整数也就不难定义了，在后面会进行解释，读者也可自行思考
数学归纳法
自然域的数学归纳法指的是
自然数的加法
自然数加法的定义
在皮亚诺公理中，我们这样定义加法：
- \(\forall a \in \mathbb{N}, 0 + a = a\)
- \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a' + b = (a + b)'\)
我们可以以此为根本，证明一些很显然的式子
例题1
应用整数加法的定义，证明以下等式成立：
(1) \(0+1=1\)
(2) \(1+0=1\)
(3) \(1+1=2\)
(4) \(1+2=3\)
(5) \(2+1=3\)
例题1的解答
(1) 由于 \(1\in \mathbb{N}\), 因此 \(0 + 1 = 1\)
(2) \(1 + 0 = 0' + 0 = (0 + 0)' = 0' = 1\)
(3) \(1 + 1 = 0' + 1 = (0 + 1)' = 1' = 2\)
(4) \(1 + 2 = 0' + 2 = (0 + 2)' = 2' = 2\)
(5) \(2 + 1 = 1' + 1 = (1 + 1)' = 2' = 3\) (应用了(3)的结论)
自然数乘法的定义
在皮亚诺公理中，我们这样定义乘法：
- \(\forall a \in \mathbb{N}, 0 \cdot a = 0\)
- \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a' \cdot b = a \cdot b + b\)
参考文献和
https://zhuanlan.zhihu.com/p/519381654
《数学基础》