狭义数的分类

前言

数 这个概念大家一定不陌生, 但是真要说出数是如何定义的, 或许便有些发难。没关系, 我们一步一个脚印, 从 \(0\)¹ 开始。

概念与定理部分

什么是整数

整数的直观定义

直觉上, \(\cdots , -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\) 这些数就叫做整数。

若要细分, 那么

• \(1, 2, \cdots\) 这些数叫做 正整数
• \(\cdots, -2, -1\) 这些数叫做 负整数
• \(0\) 和正整数统称为 非负整数, 也叫做 自然数
• \(0\) 和负整数统称为 非正整数
• 负整数、\(0\)、正整数统称为 整数

不难发现, 这种定义方法的确很直观, 但是很不严谨啊, 和数学严谨的气质非常不符, 所以接下来介绍的就是整数的严谨定义

整数的严谨定义²

皮亚诺公理

在介绍整数的严谨定义之前, 我们需要引入一个公理: 皮亚诺公理, 它研究的是自然数理论的公理, 说人话就是如何定义自然数

首先, 我们要认识到一点, 自然数可以被视作一个满足某种要求的 序列, 也可以视作某种 集合

那么, 自然数序列究竟满足什么要求呢？

\[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \cdots\]

很直观地来说, 你会发现自然数序列是一个首项为 \(0\), 公差为 \(1\) 的等差数列, 然后好像就定义完了？

不不不, 这个时候连加法的基本定义都不存在, 所以说我们的定义不能基于 加法 的概念

那有什么办法解决 \(+1\) 这种运算呢？有的！我们可以定义一种运算, 叫做 后继, 记作 \(x'\)

也就是说, 我们可以这样定义自然数集:

1. \(0\) 属于自然数集

2. 每个自然数都有唯一的后继, 且该后继也是自然数

目前看来这个定义貌似很完美, 但其实缺漏很多, 这里列举 \(3\) 个 \(\textit{bug}\):

• 可以定义 \(-1\) 的后继是 \(0\), 那么 \(-1\) 也是自然数
• 可以定义 \(0, 1\) 的后继都是 \(2\), 那么自然数就不能视作序列了
• 可以在自然数集里混入一车奇怪的数字, 比如 \(0.5, 1.5, 2.5, \cdots\)

第 \(1\) 个 \(\textit{bug}\) 很好解决, 我们可以让 \(0\) 不是任何自然数的后继

第 \(2\) 个 \(\textit{bug}\) 也很好解决, 我们可以让任意两个数的后继不相同

第 \(3\) 个 \(\textit{bug}\) 就有些小麻烦, 需要找到一个性质: 所有满足以上要求的集合都包含自然数集（这条性质也被称作 归纳公理）

于是乎, 我们可以得出一份完美的自然数集定义:

1. 零是个自然数
2. 每个自然数都有一个后继（也是个自然数）
3. 零不是任何数的后继
4. 不同的自然数有不同的后继
5. 设由自然数组成的某个集含有零, 且每当该集合含有某个自然数时便也同时含有这个数的后继, 那么该集必含有全部自然数

一个可能的疑问

这个时候或许你会产生和某些“民科”一样的问题: 如果我定义 \(0\) 的后继是 \(2\), \(2\) 的后继是 \(4\), 自然数集是不是就变了？

其实这个问题非常容易解答。因为 \(0,1,2,3,4,\cdots\) 都是被定义出来的, 我们在十进制下规定了 \(0,1,2,\cdots,9\) 中后一个数是前一个数的后继, 然后通过进制位将一位数扩展到多位数。

也就是说, 如果你想复刻出一个你自己的数学体系, 你确实可以定义 \(0\) 的后继是 \(2\), 只是过于小众且和主流理论不互恰。

形式化地, 我们定义一种结构, 叫做 戴德金——皮亚诺结构, 它用一个三元组 \((A, x_0, f)\) 表示, 其中 \(A\) 是一个集合, \(x_0\) 是零元素, \(f\) 是对应法则（映射）, 它满足:

• \(x_0 \in A\), 且 \(f: A \rightarrow A\)
• \(\nexists x \in A, f(x) = x_0\)
• \(\forall s, t\in A, f(s) = f(t) \Leftrightarrow s = t\)
• 若 \(B \subseteq A, x_0 \in B\), 且 \(\forall x \in B, f(x) \in B\), 则认为 \(A = B\)

不难发现, 将自然数集对应到戴德金——皮亚诺结构上, 集合 \(A\) 对应自然数集 \(\mathbb{N}\), 零元素 \(x_0\) 对应数字 \(0\), 对应法则 \(f\) 对应后继

在严谨定义了自然数后, 整数也就不难定义了, 在后面会进行解释, 读者也可自行思考

数学归纳法

自然数域的数学归纳法指的是: （实质上很像归纳公理）

命题 \(\varphi (n)\) 在 \(\mathbb{N}\) 上恒成立, 当且仅当

• \(\varphi (0)\) 成立
• \(n \in \mathbb{N}\), 若 \(\varphi (n)\) 成立, 则 \(\varphi (n')\) 成立, 其中 \(n'\) 表示 \(n\) 的后继

它的证明属于分析数学的领域, 故不在这里详细展开, 但是它的应用相对广泛, 可以是困难的证明题的切入点

自然数的加法

自然数加法的定义

在皮亚诺公理中, 我们这样定义加法:

• \(\forall a \in \mathbb{N}, 0 + a = a\)
• \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a' + b = (a + b)'\)

我们可以以此为根本, 证明一些很显然的式子

例题1

应用自然数加法的定义, 证明以下等式成立: （本题中 \(n'\) 表示 \(n\) 的后继）

(1) \(0+1=1\)

(2) \(1+0=1\)

(3) \(1+1=2\)

(4) \(1+2=3\)

(5) \(2+1=3\)

例题1的解答

(1) 由于 \(1\in \mathbb{N}\), 因此 \(0 + 1 = 1\)

(2) \(1 + 0 = 0' + 0 = (0 + 0)' = 0' = 1\)

(3) \(1 + 1 = 0' + 1 = (0 + 1)' = 1' = 2\)

(4) \(1 + 2 = 0' + 2 = (0 + 2)' = 2' = 2\)

(5) \(2 + 1 = 1' + 1 = (1 + 1)' = 2' = 3\) (应用了(3)的结论)

自然数加法的基本运算律

然后, 我们来证明一下和加法有关的运算律

例题2

应用自然数加法的定义, 证明以下等式成立: （本题中 \(n'\) 表示 \(n\) 的后继）

(1) \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a + b' = (a + b)'\)

(2) \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a + b = b + a\) (加法交换律)

(3) \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, (a + b) + c = a + (b + c)\) (加法结合律)

例题2的解答

由于证明的式子基于自然数, 不难想到使用数学归纳法

(1) 先证当 \(a = 0\) 时该式成立

\(\hspace{1.5em}\) 有 \(0 + b' = b' = (0 + b)'\) 成立

\(\hspace{1em}\) 再证若 \(a + b' = (a + b)'\), 则 \(a' + b' = (a' + b)'\)

\(\hspace{1.5em}\) 显然有 \(a' + b' = (a' + b)' = [(a + b)']' = (a' + b)'\) 成立

\(\hspace{1em}\) 故由数学归纳法可知, \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a + b' = (a + b)'\)

\(\hspace{1em}\) 证毕

(2) 先证当 \(b = 0\) 时该式成立

\(\hspace{1.5em}\) 当 \(a = 0\) 时, \(a + 0 = 0 + 0 = 0 + a\) 恒成立

\(\hspace{1.5em}\) 若 \(a + 0 = 0 + a\), 则 \(a' + 0 = (a + 0)' = (0 + a)' = a' = 0 + a'\)

\(\hspace{1.5em}\) 故由数学归纳法可知, \(\forall a \in \mathbb{N}, a + 0 = 0 + a\)

\(\hspace{1em}\) 再证当 \(a + b = b + a\) 时, \(a + b' = b' + a\)

\(\hspace{1.5em}\) 由(1)结论可知 \(a + b' = (a + b)' = (b + a)' = b' + a\) 成立

\(\hspace{1em}\) 故由数学归纳法可知, \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a + b = b + a\)

\(\hspace{1em}\) 证毕

(3) 先证当 \(c = 0\) 时该式成立

\(\hspace{1.5em}\) 有 \((a + b) + c = a + b = a + (b + c)\) 成立

\(\hspace{1em}\) 再证若 \((a + b) + c = a + (b + c)\), 则 \((a + b) + c' = a + (b + c')\)

\(\hspace{1.5em}\) 显然有 \((a + b) + c' = [(a + b) + c]' = [a + (b + c)]' = a + (b + c)' = a + (b + c')\) 成立

\(\hspace{1em}\) 故由数学归纳法可知, \(\forall a, b \in \mathbb{N}, (a + b) + c = a + (b + c)\)

\(\hspace{1em}\) 证毕

自然数的乘法

自然数乘法的定义

在皮亚诺公理中, 我们这样定义乘法:

• \(\forall a \in \mathbb{N}, 0 \cdot a = 0\)
• \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a' \cdot b = a \cdot b + b\)

其中的乘号在不同的应用场景下有不同的写法, 甚至省略不写, 例如 \(1 \times 2\), \(a \cdot b\) 或 \(ab\)

同样的, 我们可以证明一些很显然的式子

例题3

应用自然数乘法的定义, 证明以下等式成立: （本题中 \(n'\) 表示 \(n\) 的后继）

(1) \(0 \times 1 = 0\)

(2) \(1 \times 0 = 0\)

(3) \(1 \times 1 = 1\)

(4) \(1 \times 2 = 2\)

(5) \(2 \times 1 = 2\)

例题3的解答

(1) 由于 \(1 \in \mathbb{N}\), 因此 \(0 \times 1 = 0\)

(2) \(1 \times 0 = 0' \times 0 = 0 \times 0 + 0 = 0 + 0 = 0\)

(3) \(1 \times 1 = 0' \times 1 = 0 \times 1 + 1 = 0 + 1 = 1\)

(4) \(1 \times 2 = 0' \times 2 = 0 \times 2 + 2 = 0 + 2 = 2\)

(5) \(2 \times 1 = 1' \times 1 = 1 \times 1 + 1 = 1 + 1 = 2\)

自然数乘法的基本运算律

同样的, 我们来证明一下和乘法有关的运算律

例题4

应用自然数乘法的定义, 证明以下等式成立: （本题中 \(n'\) 表示 \(n\) 的后继）

(1) \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a \cdot b' = a \cdot b + a\)

(2) \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a \cdot b = b \cdot a\) (乘法交换律)

(3) \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) (乘法分配律)

(4) \(\forall a, b \in \mathbb{N}, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) (乘法结合律)

例题4的解答

同样的, 不难想到使用数学归纳法

(1) 先证当 \(a = 0\) 时该式成立

\(\hspace{1.5em}\) 有 \(0 \cdot b' = 0 = 0 \cdot b + 0\) 成立

\(\hspace{1em}\) 再证若 \(a \cdot b' = a \cdot b + a\), 则 \(a' \cdot b' = a' \cdot b + a'\)

\(\hspace{1.5em}\) 可以发现有 \(a' \cdot b' = (a \cdot b + a) + b' = a \cdot b + (a + b') = a \cdot b + (a + b)' = a \cdot b + (a' + b) = a \cdot b + b + a' = a' \cdot b + a'\) 成立

\(\hspace{1em}\) 故由数学归纳法可知, \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a \cdot b' = a \cdot b + a\)

\(\hspace{1em}\) 证毕

(2) 先证当 \(b = 0\) 时该式成立

\(\hspace{1.5em}\) 当 \(a = 0\) 时, \(a \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0 \cdot a\) 恒成立

\(\hspace{1.5em}\) 若 \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\), 则 \(a' \cdot 0 = a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 = 0 = 0 \cdot a'\)

\(\hspace{1.5em}\) 故由数学归纳法可知, \(\forall a \in \mathbb{N}, a \cdot 0 = 0 \cdot a\)

\(\hspace{1em}\) 再证当 \(a \cdot b = b \cdot a\) 时, \(a \cdot b' = b' \cdot a\)

\(\hspace{1.5em}\) 由(1)结论可知 \(a \cdot b' = a \cdot b + a = b \cdot a + a = b' \cdot a\) 成立

\(\hspace{1em}\) 故由数学归纳法可知, \(\forall a, b \in \mathbb{N}, a \cdot b = b \cdot a\)

\(\hspace{1em}\) 证毕

(3) 先证当 \(c = 0\) 时该式成立

\(\hspace{1.5em}\) 不难发现有 \(a \cdot (b + 0) = a \cdot b = a \cdot b + a \cdot 0\) 恒成立

\(\hspace{1em}\) 再证当 \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) 时, \(a \cdot (b + c') = a\cdot b + a \cdot c'\)

\(\hspace{1.5em}\) 可以发现 \(a \cdot (b + c') = a \cdot (b + c)' = a \cdot (b + c) + a = a \cdot b + a \cdot c + a = a \cdot b + (a \cdot c + a) = a \cdot b + a \cdot c'\) 成立

\(\hspace{1em}\) 故由数学归纳法可知, \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)

\(\hspace{1em}\) 证毕

(4) 先证当 \(c = 0\) 时该式成立

\(\hspace{1.5em}\) 不难发现有 \((a \cdot b) \cdot c = (a \cdot b) \cdot 0 = 0 = a \cdot 0 = a \cdot (b \cdot 0) = a \cdot (b \cdot c)\) 成立

\(\hspace{1em}\) 再证当 \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) 时, \((a \cdot b) \cdot c' = a \cdot (b \cdot c')\)

\(\hspace{1.5em}\) 由(3)结论有 \((a \cdot b) \cdot c' = a \cdot b \cdot c + a \cdot b = a \cdot (b \cdot c + b) = a \cdot (b \cdot c')\) 成立

\(\hspace{1em}\) 故由数学归纳法可知 \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

\(\hspace{1em}\) 证毕

加法相关

运算的定义

在一个非空集合 \(A\) 中, 取任意两个元素 \(a, b\), 通过某种法则 \(f\) 使得有唯一的元素 \(c\) 与之对应, 那么这种法则 \(f\) 可以称为一种 运算; 同时, 若存在某种运算 \(g\) 使得元素 \(c, a\) 能唯一对应一个元素 \(b\) 或使得元素 \(c, b\) 能唯一对应一个元素 \(a\), 那么称运算 \(f\) 和 \(g\) 互为 逆运算

减法的定义

不难发现, 由于加法和乘法的结果是唯一的, 因此我们可以称加法和乘法是一种 运算, 那么我们是不是可以找到加法运算的逆运算呢?

我们定义 减法 的形式为 \(a - b\), 它的结果为 \(c\), 那么满足 \(b + c = a\)

通常, \(a + b\) 称为 \(a\) 和 \(b\) 的 和, \(a - b\) 称为 \(a\) 和 \(b\) 的 差

例题5

计算下列表达式的值:

(1) \(16 - 9\)

(2) \(16 - 7\)

(3) \(16 - (6 + 3)\)

(4) \(16 - 6 - 3\)

例题5的解答

(1) 由于 \(9 + 7 = 16\), 因此 \(16 - 9 = 7\)

(2) 由于 \(7 + 9 = 16\), 因此 \(16 - 7 = 9\)

(3) \(16 - (6 + 3) = 16 - 9 = 7\)

(4) \(16 - 6 - 3 = 10 - 3 = 7\)

同样的, 减法也有一些相关的形式需要证明

例题6

证明下列等式成立:

(1) \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, a + b = a + c \Leftrightarrow b = c\)

(2) \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, a \ge b, a \ge c, a - b = a - c \Leftrightarrow b = c\)

(3) \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, a \ge c, b \ge c, a - c = b - c \Leftrightarrow a = b\)

(4) \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, a \ge b + c, a - (b + c) = a - b - c\)

(5) \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, b \ge c, a \ge b - c, a - (b - c) = a - b + c\)

(6) \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, b \ge c, a + (b - c) = a + b - c\)

(7) \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}, b \ge c, a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\)

例题6的解答

(1) 先证 \(a + b = a + c \Rightarrow b = c\)

\(\hspace{1.5em}\) 设 \(a + b = a + c = k\), \(k \in \mathbb{N}\)

\(\hspace{1.5em}\) 则 \(b = k - a, c = k - a\), 由减法运算的定义可知 \(b = c\)

\(\hspace{1em}\) 再证 \(b = c \Rightarrow a + b = a + c\)

\(\hspace{1.5em}\) 上式将 \(c\) 替换为 \(b\) 后显然

\(\hspace{1em}\) 证毕

(2) 先证 \(a - b = a - c \Rightarrow b = c\)

\(\hspace{1.5em}\) 设 \(a - b = a - c = k\), \(k \in \mathbb{N}\)

\(\hspace{1.5em}\) 则 \(b = a - k, c = a - k\), 由减法运算的定义可知 \(b = c\)

\(\hspace{1em}\) 再证 \(b = c \Rightarrow a - b = a - c\)

\(\hspace{1.5em}\) 上式将 \(c\) 替换为 \(b\) 后显然

\(\hspace{1em}\) 证毕

(3) 先证 \(a - c = b - c \Rightarrow a = b\)

\(\hspace{1.5em}\) 设 \(a - c = b - c = k\), \(k \in \mathbb{N}\)

\(\hspace{1.5em}\) 则 \(a = c + k, b = c + k\), 由加法运算的定义可知 \(a = b\)

\(\hspace{1em}\) 再证 \(a = b \Rightarrow a - c = b - c\)

\(\hspace{1.5em}\) 上式将 \(b\) 替换为 \(a\) 后显然

\(\hspace{1em}\) 证毕

(4) 设 \(a - (b + c) = k_1, a - b - c = k_2\)

\(\hspace{1em}\) 则由 \(a - (b + c) = k_1\) 可得 \(a = k_1 + (b + c) = k_1 + b + c\)

\(\hspace{1em}\) 由 \(a - b - c = k_2\) 可得 \(a = k_2 + c + b = k_2 + b + c\)

\(\hspace{1em}\) 因此 \(k_1 + b + c = k_2 + b + c\), 即 \(k_1 = k_2\)

\(\hspace{1em}\) 因此 \(a - (b + c) = a - b - c\)

\(\hspace{1em}\) 证毕

(6) 设 \(a - (b - c) = k_1, a - b + c = k_2\)

\(\hspace{1em}\) 则由 \(a - (b - c) = k_1\) 可得 \(a = k_1 + (b - c) = k_1 + b - c\)

\(\hspace{1em}\) 由 \(a - b + c = k_2\) 可得 \(a = k_2 + b - c\)

参考文献和

https://zhuanlan.zhihu.com/p/519381654

《数学基础》

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1. 这里没有使用汉字 零, 而是使用数字 \(0\), 本意是希望每一个 \(\textit{MOer}\) 都能够以这篇文章为原点, 不断提升自己, 实现自己的梦想 ↩

2. 形式化的原版定义请阅读 分析数学 一部分, 此处的形式化语言仅仅是为了让读者熟悉形式化语言 ↩